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2023年河北專升本數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)考試大綱
2025-08-13 來(lái)源：中國(guó)教育在線
2023年河北專升本數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)考試大綱已發(fā)布！分為數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何三部分，考試采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為300分，考試時(shí)間為150分鐘，試卷包括選擇題、填空題、判斷題、計(jì)算題等。考試主要內(nèi)容、參考書目、樣題等具體信息如下，請(qǐng)考生參考。
第一部分：數(shù)學(xué)分析
I.課程簡(jiǎn)介
一、內(nèi)容概述與要求
數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課程，掌握數(shù)學(xué)分析的基本理論體系及思想方法對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究具有重要意義?？忌鷳?yīng)理解《數(shù)學(xué)分析》中實(shí)數(shù)的完備性定理；掌握函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微積分學(xué)、多元函數(shù)微積分學(xué)、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)等相關(guān)章節(jié)的基本概念與基本理論，掌握上述各部分的基本方法；注意各部分知識(shí)結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。考生應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力；能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確推理地證明，準(zhǔn)確簡(jiǎn)捷地計(jì)算；能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題?？荚噺娜齻€(gè)層次上對(duì)考生進(jìn)行測(cè)試，較高層次的要求為“理解”和“掌握”，較低層級(jí)的要求為“了解”。這里“理解”和“了解”兩詞分別是對(duì)概念、理論的高層次與低層次要求?！罢莆铡笔菍?duì)方法、運(yùn)算的高層次要求。本說(shuō)明下列用語(yǔ)的含義：了解是指清楚地知道，理解是指懂得涵義、特征以及與相關(guān)理論的關(guān)系，運(yùn)用是指用以解決基本問(wèn)題，掌握是指理解并能運(yùn)用。
二、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
考試形式：采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為300分，考試時(shí)間為150分鐘。
試卷結(jié)構(gòu)：試卷包括選擇題、填空題、判斷題、計(jì)算題、證明題和應(yīng)用題。選擇題是四選一型的單項(xiàng)選擇題；填空題只要求直接填寫結(jié)果，不必寫出計(jì)算過(guò)程或推證過(guò)程；計(jì)算題、證明題均應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過(guò)程。
試卷中《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》與《解析幾何》試題的分值比例約為150:110:40
II.知識(shí)要點(diǎn)與考核要求
一、實(shí)數(shù)集與函數(shù)
1.鄰域、去心鄰域、左鄰域、右鄰域的概念.
2.有界數(shù)集的定義，數(shù)集的上確界、下確界的定義，確界原理.
3.函數(shù)、反函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的概念，函數(shù)的單調(diào)性、有界性、周期性、奇偶性，基本初等函數(shù)、初等函數(shù)的概念.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.實(shí)數(shù)的無(wú)限小數(shù)表示法.
理解內(nèi)容
1.區(qū)間與鄰域的概念，有界集及確界概念.
2.函數(shù)及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、初等函數(shù)的概念.掌握內(nèi)容
1.數(shù)集上確界、下確界的定義，確界原理.
2.求函數(shù)的定義域.
3.函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性），基本初等函數(shù)的性質(zhì).
4.將一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)或簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合的方法.
二、數(shù)列極限
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.數(shù)列極限的ε−N定義.
2.收斂數(shù)列性質(zhì)，極限的四則運(yùn)算法則，數(shù)列的斂散性與其子列斂散性的關(guān)系.
3.迫斂性定理，單調(diào)有界原理，數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.極限的歷史.理解內(nèi)容
1.極限的概念.
2.極限的思想.
3.柯西準(zhǔn)則掌握內(nèi)容
1.
| n |
用數(shù)列極限的ε−N定義證明limx=a.
n→∞
2.用數(shù)列極限的定義及收斂數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)結(jié)論的證明.
3.用四則運(yùn)算法則、迫斂性定理、單調(diào)有界定理證明數(shù)列收斂并求極限.
4.用數(shù)列極限與其子數(shù)列極限之間的關(guān)系證明數(shù)列發(fā)散.
三、函數(shù)極限
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.自變量各種趨勢(shì)下函數(shù)極限的精確定義.
2.左極限、右極限與極限的關(guān)系.
3.函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則.
4.歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則.
5.兩個(gè)重要極限.
6.無(wú)窮小量的定義及性質(zhì)，無(wú)窮小量階的比較，用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限.
7.無(wú)窮大量的定義，無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系.
8.曲線的水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.極限的幾何意義.
理解內(nèi)容
1.無(wú)窮大、無(wú)窮小以及無(wú)窮小的階的概念，無(wú)窮小的性質(zhì)，無(wú)窮小量階的比較，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系.
2.曲線漸近線的幾何意義，漸近線的求法.
3.歸結(jié)原理，柯西準(zhǔn)則.掌握內(nèi)容
1.函數(shù)極限的精確定義，左極限、右極限與極限的關(guān)系.
2.用函數(shù)極限的性質(zhì)證明與函數(shù)極限相關(guān)的結(jié)論.
3.用極限四則運(yùn)算法則求極限.
4.用兩個(gè)重要極限求極限.
5.用等價(jià)無(wú)窮小求極限.
四、函數(shù)的連續(xù)性
1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，左連續(xù)、右連續(xù)與連續(xù)的關(guān)系.
2.函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類.
3.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性.
4.函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的局部性質(zhì)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理、最值定理、介值定理及零點(diǎn)存在定理）.
5.函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)的定義，一致連續(xù)性定理.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.黎曼函數(shù)的定義及其性質(zhì).
理解內(nèi)容
1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念.
2.反函數(shù)的連續(xù)性.
3.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的局部性質(zhì).
4.一致連續(xù)的定義，一致連續(xù)性定理.掌握內(nèi)容
1.判斷簡(jiǎn)單函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)的連續(xù)性質(zhì).
2.求函數(shù)的間斷點(diǎn)，確定間斷點(diǎn)的類型.
3.初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)性.
4.運(yùn)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性定理、最大最小值定理、介值定理、零點(diǎn)定理)推證一些簡(jiǎn)單命題.
五、導(dǎo)數(shù)與微分
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義.
2.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系.
3.導(dǎo)數(shù)的基本公式，求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.
4.高階導(dǎo)數(shù)的概念及求法.
5.參變量函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的求法.
6.微分的定義，微分的幾何意義，微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，微分法則，一階微分形式不變性.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.微分的幾何意義.
2.用微分做近似計(jì)算和誤差估計(jì).理解內(nèi)容
1.函數(shù)的微分概念.
2.一階微分形式不變性.
3.反函數(shù)的求導(dǎo)法則.掌握內(nèi)容
1.導(dǎo)數(shù)、左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)的概念，判斷函數(shù)在某點(diǎn)的可導(dǎo)性，用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù).
2.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系.
3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義，求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程.
4.用導(dǎo)數(shù)基本公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
5.微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，微分運(yùn)算法則,求初等函數(shù)的微分.
6.高階導(dǎo)數(shù)的概念，求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).
7.求參變量函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù).
六、微分中值定理及其應(yīng)用
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式.
2.判定函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)的極值，求函數(shù)的最值.
3.判定曲線凹凸性，求曲線的拐點(diǎn).
4.洛必達(dá)法則，求不定式的極限.
5.函數(shù)圖像的討論.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.導(dǎo)數(shù)極限定理.
2.導(dǎo)函數(shù)的介值定理.理解內(nèi)容
1.函數(shù)極值的概念.
2.羅爾定理、拉格朗日中值定理及其幾何意義，柯西中值定理.
3.泰勒中值定理，泰勒公式.
4.描繪簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形.掌握內(nèi)容
1.用羅爾定理、拉格朗日中值定理證明簡(jiǎn)單的不等式和證明方程根的存在性.
2.用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間，利用函數(shù)的增減性證明簡(jiǎn)單的不等式.
3.用二階導(dǎo)數(shù)判定曲線的凹凸性，求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).
4.求函數(shù)的極值與最值.
5.求各種不定式極限.
6.解決簡(jiǎn)單的最大（小）值的應(yīng)用問(wèn)題.
七、實(shí)數(shù)的完備性
（一）知識(shí)要點(diǎn)1.閉區(qū)間套定理.
2.聚點(diǎn)的定義及聚點(diǎn)定理.
3.有限覆蓋定理.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.實(shí)數(shù)完備性基本定理的等價(jià)性.
理解內(nèi)容
1.集合的開覆蓋、有限開覆蓋的概念，有限覆蓋定理.掌握內(nèi)容
1.區(qū)間套定理.
2.找出集合的聚點(diǎn)，聚點(diǎn)定理.
八、不定積分
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.原函數(shù)與不定積分的概念，原函數(shù)存在定理.
2.不定積分的基本積分公式.
3.不定積分的線性運(yùn)算法則.
4.不定積分的第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法.
5.有理函數(shù)的積分法，簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)及三角函數(shù)有理式的積分法.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.不定積分的幾何意義.
理解內(nèi)容
1.原函數(shù)與不定積分的概念.
2.求有理函數(shù)的不定積分，求三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的不定積分.掌握內(nèi)容
1.不定積分的基本公式.
2.不定積分的線性運(yùn)算法則.
3.用第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法求不定積分.
九、定積分
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.定積分的概念及其幾何意義.
2.定積分的性質(zhì).
3.積分第一中值定理.
4.變上限定積分，原函數(shù)存在定理.
5.可積函數(shù)類.
6.牛頓—萊布尼茲公式，定積分的換元法、分部積分法.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.第一積分中值定理的推廣形式，第二積分中值定理.
理解內(nèi)容
1.定積分的概念與幾何意義.
2.可積的必要條件.
3.三類可積函數(shù).掌握內(nèi)容
1.定積分的性質(zhì).
2.變上限積分，原函數(shù)存在定理，變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
3.用牛頓—萊布尼茲公式，定積分的換元法和分部積分法計(jì)算定積分.
4.證明一些簡(jiǎn)單的積分恒等式.
十、定積分的應(yīng)用
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.平面圖形的面積.
2.曲線的弧長(zhǎng).
3.平行截面面積為已知的立體體積、旋轉(zhuǎn)體的體積.
4.旋轉(zhuǎn)曲面的面積.
5.用定積分求物理量.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.曲率、曲率圓、曲率半徑、曲率中心等概念.理解內(nèi)容
1.微元法的思想.
掌握內(nèi)容
1.求平面圖形的面積.
2.求平面曲線的弧長(zhǎng).
3.求平行截面面積為已知的立體體積，簡(jiǎn)單的封閉平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.
4.求平面曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)面的面積.
5.求變力所作的功（質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)）.
十一、反常積分
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.無(wú)窮積分的定義、性質(zhì)及斂散性的判別.
2.瑕積分的定義、性質(zhì)及斂散性的判別.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.兩類反常積分的幾何意義.
2.兩類反常積分的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法.
3.用柯西準(zhǔn)則判定兩類反常積分的收斂性.理解內(nèi)容
1.兩類反常積分收斂、發(fā)散的概念；兩類反常積分條件收斂和絕對(duì)收斂的概念.
2.用比較原則，比較原則的極限形式，柯西判別法，柯西判別法的極限形式判定兩類非負(fù)函數(shù)反常積分的斂散性.
掌握內(nèi)容
1.根據(jù)定義判定反常積分的斂散性，求收斂的反常積分的值.
十二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.級(jí)數(shù)的概念，級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的定義.
2.級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，級(jí)數(shù)收斂的必要條件.
3.級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則.
4.正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法（比較判別法、比式判別法及其極限形式、根式判別法及其極限形式、積分判別法.）
5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其萊布尼茲判別法.
6.級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的定義及判別.
7.一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.阿貝爾判別法和狄利克雷判別法.
2.絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì).理解內(nèi)容
1.級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念.
2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的積分判別法.
3.用柯西準(zhǔn)則判別級(jí)數(shù)的斂散性.掌握內(nèi)容
1.用定義判別級(jí)數(shù)的斂散性，求收斂級(jí)數(shù)的和.
2.用級(jí)數(shù)收斂的必要條件判別級(jí)數(shù)發(fā)散.
3.幾何級(jí)數(shù)的斂散性，p級(jí)數(shù)的斂散性.
4.用級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)判別級(jí)數(shù)的斂散性.
5.用比較判別法、比式判別法及其極限形式、根式判別法及其極限形式判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.
6.用萊布尼茲判別法判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂.
7.判別級(jí)數(shù)條件收斂和絕對(duì)收斂.
十三、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂的優(yōu)級(jí)數(shù)判別法.
2.一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì).
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則.
2.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則.理解內(nèi)容
1.函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的定義.
2.函數(shù)列一致收斂與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂之間的關(guān)系.掌握內(nèi)容
1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致斂的優(yōu)級(jí)數(shù)判別法.
2.一致收斂函數(shù)列的極限函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性.
3.一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo).
十四、冪級(jí)數(shù)
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.冪級(jí)數(shù)的概念，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域.
2.冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì).
3.將初等函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù).
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.冪級(jí)數(shù)的概念.
2.泰勒級(jí)數(shù)的定義.理解內(nèi)容
1.兩個(gè)冪級(jí)數(shù)和與差的收斂半徑.
掌握內(nèi)容
1.求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域的方法（包括判斷端點(diǎn)處的收斂性）.
2.冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)及逐項(xiàng)積分）.
3.用基本初等函數(shù)的馬克勞林展開式將一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開為x或x−a
的冪級(jí)數(shù).
十五、多元函數(shù)的極限與連續(xù)
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.二元函數(shù)的幾何意義，二元或三元函數(shù)的定義域.
2.二元函數(shù)極限的概念.
3.二元函數(shù)連續(xù)的概念.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義.
2.有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).理解內(nèi)容
1.二元函數(shù)的概念.
2.二元函數(shù)的二重極限與累次極限的定義及之間的關(guān)系.掌握內(nèi)容
1.二元函數(shù)連續(xù)的概念.
2.求二元或三元函數(shù)的定義域.
3.求較簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的極限.
十六、多元函數(shù)微分學(xué)
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.偏導(dǎo)數(shù)、全微分、高階偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可微的充分條件與必要條件.
2.求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t.
3.方向?qū)?shù)和梯度.
4.二元函數(shù)的極值.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.全微分的概念.理解內(nèi)容
1.偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)的概念.
2.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
3.方向?qū)?shù)和梯度.掌握內(nèi)容
1.函數(shù)可微的充分條件與必要條件.
2.求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（含抽象函數(shù)）及全微分.
3.求初等函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù).
4.求二元函數(shù)的極值.
十七、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用
（一）知識(shí)要點(diǎn)1.隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)
2.平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面.
3.曲面的切平面與法線.
4.求多元函數(shù)極值的Lagrange乘數(shù)法.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.隱函數(shù)定理.理解內(nèi)容
1.隱函數(shù)的概念.
掌握內(nèi)容1.由方程
f(x,y,z)=0
所確定的隱函數(shù)
z=f(x,y)的一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法.
2.求平面曲線的切線方程與法線方程，空間曲線的切線方程與法平面方程.
3.求曲面的切平面方程與法線方程.
4.應(yīng)用Lagrange乘數(shù)法求解一些最大值、最小值問(wèn)題.
十八、含參變量積分
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.含參量積分的連續(xù)性、可微性、可積性.
2.含參變量反常積分一致收斂的維爾斯特拉斯M判別法.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.含參變量反常積分一致收斂的判別方法.
2.含參變量反常積分的連續(xù)性、可微性、可積性.理解內(nèi)容
1.含參量積分的概念.
2.含參變量反常積分一致收斂的概念.用維爾斯特拉斯M判別法判別含參變量反常積分一致收斂.掌握內(nèi)容
1.用含參量積分的連續(xù)性求定積分的極限.
2.用交換積分順序的方法求定積分.
十九、曲線積分
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.兩類曲線積分性質(zhì).
2.兩類曲線積分計(jì)算.
（二）考核要求了解內(nèi)容
兩類曲線積分之間的關(guān)系.理解內(nèi)容
1.兩類曲線積分的概念.
2.兩類曲線積分的性質(zhì).掌握內(nèi)容
1.第一型曲線積分的計(jì)算.
2.第二型曲線積分的計(jì)算.
二十、重積分
（一）知識(shí)要點(diǎn)
1.二重積分的概念及性質(zhì).
2.二重積分的計(jì)算.
3.二重積分的應(yīng)用.
4.格林公式，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件.
（二）考核要求了解內(nèi)容
1.二重積分的概念.理解內(nèi)容
1.二重積分的性質(zhì)掌握內(nèi)容
1.直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分，選擇積分次序與交換積分次序.
2.用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分.
3.用二重積分解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題（限于空間曲面所圍成的體積、曲面的面積、平面薄板質(zhì)量）.
4.格林（Green）公式，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，并應(yīng)用于曲線積分的計(jì)算中.
第二部分：高等代數(shù)
Ⅰ 課程簡(jiǎn)介
一、內(nèi)容概述與總要求
參加考試的考生應(yīng)理解或了解《高等代數(shù)》中多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換和歐氏空間的基本概念、定理、性質(zhì)和方法，能運(yùn)用本門課程的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法進(jìn)行判斷、分析、計(jì)算和證明；應(yīng)具有較好的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力；具備一定的分析、解決問(wèn)題的能力?？荚噺娜齻€(gè)層次上對(duì)考生進(jìn)行測(cè)試，較高層次的要求為“理解”和“掌握”，較低層級(jí)的要求為“了解”。這里“理解”和“了解”兩詞分別是對(duì)概念、理論的高層次與低層次要求?！罢莆铡笔菍?duì)方法、運(yùn)算的高層次要求。本說(shuō)明下列用語(yǔ)的含義：了解是指清楚地知道，理解是指懂得涵義、特征以及與相關(guān)理論的關(guān)系，運(yùn)用是指用以解決基本問(wèn)題，掌握是指理解并能運(yùn)用。
二、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
考試形式：采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為300分，考試時(shí)間為150分鐘。
試卷結(jié)構(gòu)：試卷包括選擇題、填空題、判斷題、計(jì)算題、證明題和應(yīng)用題。選擇題是四選一型的單項(xiàng)選擇題；填空題只要求直接填寫結(jié)果，不必寫出計(jì)算過(guò)程或推證過(guò)程；計(jì)算題、證明題均應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過(guò)程。
試卷中《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》與《解析幾何》試題的分值比例約為150:110:40
Ⅱ知識(shí)要點(diǎn)與考核要求
一、多項(xiàng)式
1.知識(shí)要點(diǎn)
數(shù)域P上一元多項(xiàng)式的概念、基本運(yùn)算和運(yùn)算律；多項(xiàng)式整除的概念和性質(zhì)，帶余除法；最大公因式的概念和性質(zhì)，輾轉(zhuǎn)相除法；多項(xiàng)式互素的概念和性質(zhì)；不可約多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)；多項(xiàng)式根的概念和性質(zhì)；復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式不可約的充要條件，復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式根的個(gè)數(shù)，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的非實(shí)復(fù)數(shù)根的特征，實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式不可約的充要條件；Eisenstein判別法，求整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的方法.
2.考核要求
（1）掌握數(shù)域P上一元多項(xiàng)式的概念、基本運(yùn)算和運(yùn)算律.
（2）掌握多項(xiàng)式整除的概念和性質(zhì)，掌握帶余除法.
（3）掌握最大公因式的概念、性質(zhì)，掌握輾轉(zhuǎn)相除法，掌握多項(xiàng)式互素的概念和性質(zhì).
（4）掌握不可約多項(xiàng)式的概念和性質(zhì).
（5）理解多項(xiàng)式根的概念和性質(zhì).
（6）掌握復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式不可約的充要條件，掌握復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式根的個(gè)數(shù)，掌握實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的非實(shí)復(fù)數(shù)根的特征，掌握實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式不可約的充要條件．
（7）理解有理數(shù)域上多項(xiàng)式與整系數(shù)多項(xiàng)式的關(guān)系，掌握求整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的方法，掌握Eisenstein判別法.
二、行列式
1.知識(shí)要點(diǎn)
排列及其逆序數(shù)，排列的奇偶性，行列式的概念，行列式的性質(zhì)，余子式和代數(shù)余子式，行列式按一行（列）展開定理，Vandermonde行列式，克拉默（Cramer）法則。
2.考核要求
（1）掌握排列的概念，掌握排列逆序數(shù)的概念和求法，理解排列的奇偶性.
（2）理解行列式的定義.
（3）掌握行列式的性質(zhì)，掌握行列式按一行（列）展開定理.
（4）會(huì)計(jì)算具體行列式的值，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單n階行列式的值，理解Vandermonde行列式．
（5）了解克拉默法則．
三、線性方程組
1.知識(shí)要點(diǎn)
矩陣的概念，矩陣的初等變換，矩陣的秩；用消元法解線性方程組；線性方程組有解的判定定理；齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的概念和求法，線性方程組解的結(jié)構(gòu)．
2.考核要求
（1）理解矩陣的概念．
（2）掌握矩陣的初等變換，理解矩陣秩的概念，掌握求矩陣秩的方法.
（3）掌握消元法解線性方程組.
（4）理解線性方程組有解的判定定理.
（5）掌握齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的概念及求法.
（6）了解線性方程組解的結(jié)構(gòu).
四、矩陣
1.知識(shí)要點(diǎn)
矩陣的基本運(yùn)算和運(yùn)算律；可逆矩陣和逆矩陣的概念和性質(zhì)，矩陣可逆的充要條件，伴隨矩陣的概念，矩陣與其伴隨矩陣的關(guān)系，求逆矩陣的方法；n階矩陣乘積的行列式．
2.考核要求
（1）掌握矩陣的基本運(yùn)算和運(yùn)算律，理解對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣的概念.
（2）掌握可逆矩陣和逆矩陣的概念和性質(zhì)，掌握矩陣可逆的充要條件，
（3）理解伴隨矩陣的概念，掌握矩陣與其伴隨矩陣的關(guān)系．
（4）掌握求逆矩陣的方法.
（5）會(huì)解簡(jiǎn)單矩陣方程.
（6）掌握矩陣乘積的行列式.
五、二次型
1.知識(shí)要點(diǎn)
二次型的定義，二次型的矩陣表示；矩陣的合同，矩陣的合同變換；二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，復(fù)數(shù)域上和實(shí)數(shù)域上二次型化成典范形，慣性指數(shù)；正定二次型，正定矩陣．
2.考核范圍
（1）理解二次型的概念，會(huì)寫出二次型的矩陣.
（2）理解矩陣的合同概念及性質(zhì)，掌握矩陣的合同變換.
（3）掌握利用矩陣的合同變換求可逆變量替換，把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形．
（4）掌握利用矩陣的合同變換求可逆變量替換，把復(fù)數(shù)域上和實(shí)數(shù)域上二次型化成典范形，理解慣性指數(shù)的概念．
（5）掌握正定二次型、正定矩陣的概念，掌握矩陣是正定矩陣的充要條件.
（6）掌握求正交變量替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法.
六、線性空間
1.知識(shí)要點(diǎn)
線性空間的定義，向量的運(yùn)算及其性質(zhì)（運(yùn)算律）；向量的線性組合、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)及其主要性質(zhì)，向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，向量組的秩；行向量和列向量，線性空間的基和維數(shù)，向量坐標(biāo)的概念；線性子空間的定義，線性空間的子集是子空間的充要條件，向量組生成子空間的定義，子空間的交、子空間的和．
2.考核范圍
（1）了解線性空間的定義；掌握向量的運(yùn)算及其性質(zhì)（運(yùn)算律）．
（2）掌握向量的線性組合、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)及其主要性質(zhì)，掌握向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的概念，
理解向量組秩的概念．
（3）理解行向量和列向量的含義，掌握行向量組的秩和列向量組的秩的求法．
（4）理解線性空間的基和維數(shù)．
（5）理解向量坐標(biāo)的概念．
（6）了解線性子空間的定義，掌握線性空間的子集是子空間的充要條件；理解向量組生成子空間的定義；理解子空間的交、子空間的和．
七、線性變換
1.知識(shí)要點(diǎn)
線性變換的概念、性質(zhì)、運(yùn)算和運(yùn)算律；線性變換與矩陣的關(guān)系，矩陣的相似；矩陣的特征值和特征向量的概念和求法，線性變換的特征值和特征向量的概念和求法；矩陣和線性變換對(duì)角化的定義、條件和方法.
2.考核范圍
（1）掌握線性變換的概念、性質(zhì)、運(yùn)算和運(yùn)算律.
（2）理解線性變換與矩陣的關(guān)系.
（3）理解矩陣相似的概念及性質(zhì).
（4）掌握矩陣的特征值，特征向量的概念和求法，掌握線性變換的特征值，特征向量的概念和求法.
（5）掌握矩陣和線性變換對(duì)角化的定義、條件和方法.
八、歐氏空間
1.知識(shí)要點(diǎn)
歐氏空間的概念，向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)；向量長(zhǎng)度、單位向量、向量夾角、向量正交的概念，正交向量組和標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，施密特正交化方法，正交矩陣；正交變換的概念和性質(zhì)；實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化．
2.考核范圍
（1）掌握歐氏空間的概念，掌握向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)；掌握向量長(zhǎng)度、單位向量、向量夾角、向量正交的概念．
（2）掌握正交向量組和標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，了解施密特正交化方法；掌握正交矩陣的概念和性質(zhì).
（3）掌握正交變換的概念和性質(zhì)．
（4）掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化方法.
第三部分：解析幾何
I.課程簡(jiǎn)介
一、內(nèi)容概述與要求
參加考試的考生應(yīng)理解向量的概念及其運(yùn)算和應(yīng)用，掌握空間平面、直線方程的求法及相關(guān)位置的解析條件，了解《解析幾何》中方程（主要是三元一次、三元二次方程）與空間圖形的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)空間圖形的直觀想象能力及運(yùn)用幾何知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，使學(xué)生在較高的理論水平基礎(chǔ)上，處理后續(xù)數(shù)學(xué)課程中與圖形有關(guān)的問(wèn)題。考試從三個(gè)層次上對(duì)考生進(jìn)行測(cè)試，較高層次的要求為“理解”和“掌握”，較低層級(jí)的要求為“了解”。這里“理解”和“了解”兩詞分別是對(duì)概念、理論的高層次與低層次要求?！罢莆铡笔菍?duì)方法、運(yùn)算的高層次要求。本說(shuō)明下列用語(yǔ)的含義：了解是指清楚地知道，理解是指懂得涵義、特征以及與相關(guān)理論的關(guān)系，運(yùn)用是指用以解決基本問(wèn)題，掌握是指理解并能運(yùn)用。
二、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
考試形式：采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為300分，考試時(shí)間為150分鐘。
試卷結(jié)構(gòu)：試卷包括選擇題、填空題、判斷題、計(jì)算題、證明題和應(yīng)用題。選擇題是四選一型的單項(xiàng)選擇題；填空題只要求直接填寫結(jié)果，不必寫出計(jì)算過(guò)程或推證過(guò)程；計(jì)算題、證明題均應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過(guò)程。
試卷中《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》與《解析幾何》試題的分值比例約為150:110:40
II.知識(shí)要點(diǎn)與考核要求
一、向量與坐標(biāo)
（一）向量與坐標(biāo)1.知識(shí)要點(diǎn)
向量的概念；向量加法；數(shù)量乘向量；向量的線性關(guān)系與向量的分解；標(biāo)架與坐標(biāo)；向量在軸上的射影；兩向量的數(shù)量積；兩向量的向量積；三向量的混合積；三向量的雙重向量積。
2.考核要求
（1）了解向量的線性組合、線性相關(guān)的定義及直線、平面、空間向量線性分解的唯一性定理；了解標(biāo)架與坐標(biāo)的意義，坐標(biāo)系與卦限的相關(guān)概念；了解三向量雙重向量積的定義和運(yùn)算。
（2）理解向量的相關(guān)概念及其表示，共線向量與共面向量，向量的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，向量的線性相關(guān)性定理；理解向量在軸上的射影與射影向量的定義與性質(zhì)。
（3）掌握用平行四邊形法則和三角形法則做向量的加法和減法；掌握數(shù)量乘向量的定義及運(yùn)算規(guī)律，掌握數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算；掌握兩向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算規(guī)律，兩向量垂直的充要條件，兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，兩向量夾角的計(jì)算；掌握向量積的定義和運(yùn)算規(guī)律，兩向量共線的充要條件，向量積的坐標(biāo)表示；掌握三向量混合積的定義和性質(zhì)，三向量共面的充要條件，三向量混合積的坐標(biāo)表示。
二、軌跡與方程
1.知識(shí)要點(diǎn)
平面曲線的方程；曲面的方程；球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系；空間曲線的方程。2.考核要求
（1）了解常見(jiàn)曲線與曲面的參數(shù)方程及其圖形，同一曲線、曲面的參數(shù)方程有多種不同形式。
（2）理解曲線、曲面方程的意義，能根據(jù)已知條件選取適當(dāng)坐標(biāo)系，建立曲線、曲面方程。
（3）掌握曲線、曲面參數(shù)方程的概念，熟悉曲線、曲面的參數(shù)方程與普通方程的互化。
三、平面與空間直線
1.知識(shí)要點(diǎn)
平面的方程；點(diǎn)與平面的相關(guān)位置；兩平面的相關(guān)位置；空間直線方程；直線與平面的相關(guān)位置；空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置；空間兩直線的相關(guān)位置；平面束。
2.考核要求
（1）了解空間直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義。
（2）理解點(diǎn)到平面的距離和點(diǎn)與平面間的離差的區(qū)別和聯(lián)系；理解空間兩異面直線間的距離及空間兩異面直線的公垂線相關(guān)概念；理解平面束的相關(guān)概念和應(yīng)用。
（3）掌握平面與空間直線的各種形式的方程，根據(jù)決定平面或決定直線的各種幾何條件導(dǎo)出它們的方程，根據(jù)平面和直線的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)判斷有關(guān)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系與計(jì)算它們之間的距離與交角。
四、柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面
1.知識(shí)要點(diǎn)
柱面及柱面方程，空間曲線對(duì)坐標(biāo)面的射影柱面；錐面及其方程，錐面方程的特征；旋轉(zhuǎn)曲面及方程、特殊旋轉(zhuǎn)曲面的認(rèn)識(shí)；橢球面與雙曲面；橢圓拋物面與雙曲拋物面；平行截割法；單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線。
2.考核要求
（1）了解橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、橢圓拋物面、雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程。了解用平行截割法認(rèn)識(shí)曲面的大致形狀。
（2）理解母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程，理解以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程，理解單葉雙曲面與
雙曲拋物面的直紋性。
（3）掌握求柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面方程的一般方法與步驟。
III.模擬試卷及參考答案
河北省普通高等學(xué)校專升本考試數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)模擬試卷
(考試時(shí)間：150分鐘）
（總分：300分）
說(shuō)明：請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的相應(yīng)位置上作答，在其它位置上作答的無(wú)效。
一、填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。請(qǐng)將答案填寫在答題紙的相應(yīng)位置上。）
1.設(shè)y=xsinx，則y′=.
??x=ln
2.設(shè)?
1+t2
d2y
，則dx2=.
??y=arctant
| ∫π1+sinx |
πx+cosx
3.2
−2
2
dx=.
4.
| ∫ |
f(x)的一個(gè)原函數(shù)為sinx，則xf′(x)dx=.
x
5.
| ? |
| 2 |
已知f(x)=?x
x≤1
在x=1處可導(dǎo)，則a=,b=.
?ax+b
x>1
12a
6.設(shè)行列式203中，代數(shù)余子式A21=0，則a＝．
369
7.設(shè)P、Q都是可逆矩陣，若PXQ=B，則X=．
8.直線x−1=
y−1=
z與平面x+ky−3z+1=0平行，則k=.
12−3
二、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，選出一個(gè)正確的答案，并將所選項(xiàng)前的字母填寫在答題紙的相應(yīng)位置上。）
?n1?n
9.若lim?∑k(k+1)?
=().
n→∞?k=1
A.e−2
?
B.1C.eD.
e−1
10.若級(jí)數(shù)∑an
n=1
∞
| 絕對(duì)收斂，則∑(−1)a的斂散性是(). |
n2
n
n=1
A.絕對(duì)收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.可能收斂，也可能發(fā)散
11.下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是（）.
(−1)n−1(2n−1)
(−1)n−1
A.∑2n
B.∑ln(n+1)
C.
| ∑ |
(1+
n
(−1)n
)
n
D.∑
(−1)n(sinn+cosn)
n2
12.設(shè)z=f(x,y)是由方程x2+3y2+2z2−1=0所確定的隱函數(shù)，則∂z=（）.
∂y
A.−2zB.
3y
−C.
| x |
2z
3y3y
| − |
D.。
2z2z
13.極限
lim
(x,y)→(0,0)x2
1
xy
+y2
（）.
k
A.等于
2
B.等于0C.等于
1+k2
D.不存在
14.下列對(duì)于多項(xiàng)式的結(jié)論不正確的是（）．A.如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)=g(x)
B.如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x) (g(x)±h(x))
C.如果f(x)g(x)，那么∀h(x)∈F[x]，有f(x)g(x)h(x)
D.如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)
15.對(duì)于n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，以下結(jié)論正確的是（）.
A.一定有n個(gè)不同的特征值B.存在正交矩陣P，使P′AP成對(duì)角形
C.它的特征值一定是整數(shù)D.屬于不同特征值的特征向量必線性無(wú)關(guān)，但不一定正交
16.兩平面2x−y+2z+1=0與2x−y+2z−2=0間的距離為().
A.1B.2C.3D.4
三、判斷題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。正確的劃“√”，錯(cuò)誤的劃“×”，請(qǐng)將答案填涂在答題紙的相應(yīng)位置上。）
17.二元函數(shù)f(x,y)=x2−5y2−6x+10y+6在點(diǎn)(3,1)取得極值.（）
18.設(shè)L為不通過(guò)原點(diǎn)的按段光滑的閉曲線，則
?∫L
xdy−ydx
x2+y2=0.（）
| ? |
?1
19.若
f(x)=?(1−2x)x+exx≠0
是連續(xù)函數(shù)，則a=e.（）
??a2+cosxx=0
20.設(shè)f(x,y)在R2上連續(xù)，則∫
x2
| 00 |
| 1 |
| ∫ |
dx
f(x,y)dy=∫1dy1
| y |
f(x,y)dx
.（）
21.
| ∫ |
| 0 |
若f(x)在x可導(dǎo),并且limf(x0−2h)−f(x0+2h)=1
，則f′(x)=−1.（）
0h→0h04
22.若向量組α1,α2,?,αs（s>1）線性相關(guān)，則存在某個(gè)向量是其余向量的線性組合.（）
23.實(shí)對(duì)稱矩陣為正定的充要條件是它的所有順序主子式都非負(fù).（）
24.平面2x−y−2z−5=0與x+3y−z−1=0的位置關(guān)系為相交.（）
四、計(jì)算題（本大題共5小題，每小題20分，共100分。請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的相應(yīng)位置上作答。）
∞x4n+1
25.
| n=1 |
求冪級(jí)數(shù)∑4n+1的和函數(shù)，并指出收斂域.
26.設(shè)D為xy面上的區(qū)域：4≤x2+y2≤9，求∫∫e−(x2+y2)dxdy
D.
27.
a,b取什么值時(shí),方程組
?x1+x2+x3+x4+x5=1
?3x+2x+x+x−3x=a
?12
| x |
| ?2 |
| 3 |
?+2x
34
+2x4
5
+6x5=3
??5x1+4x2+3x3+3x4−x5=b
有解？在有解的情形下,求一般解.
?001?
28.設(shè)ε,ε,ε為V的基，且線性變換σ在此基下的矩陣為A=?010?
123
（1）求σ的特征值與特征向量；
??
| ?? |
?100?
（2）σ是否可以對(duì)角化？如果可以，求可逆矩陣T使得T−1AT為對(duì)角形．
29.求通過(guò)點(diǎn)M1(1,−5,1)和M2(3,2,−2)且垂直于xoy坐標(biāo)面的平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程和一般方程.
五、證明題（本大題共3小題，每小題20分，共60分。請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的相應(yīng)位置上作答。）
30.證明函數(shù)f(x)=
xlnx
在(0,+∞)內(nèi)有最小值沒(méi)有最大值，并求其最小值.
31.設(shè)向量組α1,α2,?,αr線性無(wú)關(guān)，而向量組α1,α2,?,αr,β線性相關(guān)，
證明：β可以由α1,α2,?,αr線性表出，且表示法唯一．
32.設(shè)A,B∈Pn×n是兩個(gè)給定的n級(jí)矩陣，記W={XAX=XB,X∈Pn×n,}
證明：W是線性空間Pn×n的一個(gè)子空間.
六、應(yīng)用題（本大題共1小題，共20分。請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的相應(yīng)位置上作答。）
33.求曲線形構(gòu)件L:x=a，y=at，z=1at2(0≤t≤1,a>0)的質(zhì)量M，其線密度為ρ=2z.
2a
數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)參考答案
一、填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.填對(duì)得5分，未填或填錯(cuò)得0分）
1.sinxsinx
x(+cosx⋅lnx)
x
2.−1−1
t3t
π
3.
2
sinx
4.cosx−2+Cx
5.2,−1.
6.3
7.P−1BQ−1
8.−5
二、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.選對(duì)得5分，選錯(cuò)、未選或多選得0分）
9.D10.A11.B12.C13.D14.A15.B16.A
三、判斷題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.填對(duì)得5分，未填或填錯(cuò)得0分)
17.錯(cuò)18.錯(cuò)19.錯(cuò)20.對(duì)21.對(duì)22.對(duì)23.錯(cuò)24.對(duì)
四、計(jì)算題（本大題共5小題，每小題20分，共100分.解答過(guò)程、步驟和答案必需完整、正確）
25.解：此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=1，收斂區(qū)域?yàn)?−1,1)
…..............................................................3分
∞x4n+1
| n=1 |
設(shè)S(x)=∑4n+1
S′(x)=∑
n=1
x4n=
x4
1−x4
…..........................................................................................................6分
=−1−1+1+1
4(x−1)4(x+1)2(x2+1)
…...................................................................................9分
| ∫ |
S(x)=xS′(x)dx
0
…...................................................................................................................10分
=x?−1−1+1+1?
…..................................................................12分
∫0?
4(x−1)4(x+1)2(x2+1)?dx
??
=−xdx−1x1dx+1
x1dx+1x
1dx
….......................................................15分
∫04∫0
x−14∫0x+12∫0
x2+1
= −x−1lnx−1+1lnx+1+1arctanx........................................................................................20分
442
26.解：令x=rcosθ，y=rsinθ
在極坐標(biāo)系下積分區(qū)域?yàn)?amp;Delta;:2≤r≤30≤θ≤2π
…..................................................................4分
所以∫∫e−(x2+y2)dxdy=∫∫re−r2drdθ
…..........................................................................................8分
D
| ∫∫ |
=2πdθ3re−r2dr
02
Δ
…...............................................................................................................12分
| ∫ |
=π3e−r2d(r2)
| =π?−e−r2?=π?1−3? | 1e9 | ?? | ………………………………………… | ||||||||
| ?11? | 1 | 1 | 1 | 1?? | ?1? | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 27.解：A=?32 | 1 | 1 | −3 | a?→?0 | 1 | 2 | 2 | 6 | 3 | ||
| ?01 | 2 | 2 | 6 | 3? | ?0 | 0 | 0 | 0 | 0 | a | |
| ?54 | 3 | 3 | −1 | ?b | ?0 | 0 | 0 | 0 | 0 | b− | |
2
??2
?e4
…...................................................................................................................16分
…................................................20分
?
???
?
?
?
?................................................3分
?
2?
當(dāng)a=0,b=2時(shí),R(A)=R(A)=2,則方程組有解...........................................................................6分
此時(shí)原方程組同解于
?x1+x2+x3+x4+x5=1
(1),.................................................................................................8分
| x |
| ?2 |
| 3 |
?+2x
+2x4
+6x5=3
(1)的導(dǎo)出組為
?x1+x2+x3+x4+x5=0
(2)
| x |
| ?2 |
| 3 |
?+2x
+2x4
+6x5=0
分別取自由未知量x3,x4,x5為(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),代入(2)則可解得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為
η1=(1,−2,1,0,0),η2=(1,−2,0,1,0),η3=(5,−6,0,0,1),..................................................................16分
再取自由未知量x3,x4,x5為(0,0,0)代入(1)則可解得特解為
γ0=(−2,3,0,0,0),......................................................................18分
那么一般解為
γ0+k1η1+k2η2+k3η3,k1,k2,k3任意...........................................................................20分
λ0−1
28.解：（1）
λE−A=0
λ−10
=（λ−1）（2λ+1），.......................................................4分
−10λ
所以σ的特征值λ1=λ2=1和λ3=−1．................................................................................................6分
當(dāng)λ=λ=1時(shí)，由(λE−A)X=0得基礎(chǔ)解系X
?1?
=?0?，X
?0?
=?1?，.....................................8分
121
1??
| 1 |
??
??
2??
| 0 |
??
??
故屬于1的線性無(wú)關(guān)的特征向量是ξ1=ε1+ε3ξ2=ε2，而屬于1的全部特征向量是k1ξ1+k2ξ2（其中k1,k2
為不全為零的任意常數(shù)）．........................................................................................................................10分
?−1?
當(dāng)λ= −1時(shí)，由(λE−A)X=0得基礎(chǔ)解系?0?，故屬于−1的線性無(wú)關(guān)的特征向量是ξ= −ε+ε，
33??
313
?1?
??
屬于−1的全部特征向量是kξ3，（k為不為零的任意常數(shù)）．...............................................................14分
（2）因?yàn)?amp;sigma;有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以σ可以對(duì)角化．..............................................................16分
?10
−1?
?100?
令T=?010?，則T-1AT=?010?.........................................................................20分
????
??101??
??00
−1??
29.解：由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z軸，即{0,0,1}與所求的平面平行，又M1M2={2,7,−3}，平行于所求的平面，4分
?x=1+2u
?
所以要求的平面的參數(shù)方程為：?y= −5+7u
| ? |
?z=1−3u+v
…............................................................................10分
平面的點(diǎn)位式方程為：
x−1
2
0
y+5
7
0
z−1
-3
1
=0................................................................................15分
一般方程為：7(x−1)−2(y+5)=0，即7x−2y−17=0................................................................20分
五、證明題（本大題共3小題，每小題20分，共60分.證明過(guò)程、步驟和答案必需完整、正確）
30.證明：f′(x)=
1lnx+
xlnx+2
=，...................................................................................3分
2xx2x
令f′(x)=0
得x=e−2............................................................................................................5分
又因?yàn)楫?dāng)
x∈(0,e−2)
時(shí)，f′(x)<0，......................................................................................6分
當(dāng)x∈(e−2,+∞)
−2
時(shí)，f′(x)>0........................................................................................7分
−2−2
所以f(x)在
x=e
處取得極小值，并且f(e
)=e...............................................................10分
又因?yàn)閒(x)在(0,+∞)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，
所以f(x)在
x=e−2處取得最小值..........................................................................................12分
又因?yàn)閘im
x→0+
f(x)=lim
x→0+
xlnx=lim
x→0+
lnx
−1
…................................................................................14分
x2
| 3( |
x−1
=lim
x→0+
−1x−
2
=lim−2
x→0+
2
x)=0，..............................................................................................16分
lim
x→+∞
f(x)=lim
x→+∞
xlnx=+∞........................................................................................................18分
所以函數(shù)f(x)=
xlnx
在(0,+∞)內(nèi)有最小值沒(méi)有最大值，并且最小值是
f(e−2)=−2................................................................................................................................20分
e
31.證明：（1）由α1,α2,?,αr,β線性相關(guān)，存在不全為零的數(shù)k1,k2,?,kr,kr+1，使
k1α1+k2α2+?+krαr+kr+1β=0............................................................................5分
又由α1,α2,?,αr線性無(wú)關(guān)，得kr+1≠0（否則，α1,α2,?,αr線性相關(guān)，矛盾），于是有
β=−
k1kr+1
α1−
k2kr+1
α2−?−
krkr+1
αr；................................................................10分
（2）設(shè)β=c1α1+c2α2+?+crαr，β=l1α1+l2α2+?+lrαr，則
c1α1+?+crαr=l1α1+?+lrαr，
(c1−l1)α1+(c2−l2)α2+?+(cr−lr)αr=0，.................................................................17分
由于α1,α2,?,αr線性無(wú)關(guān)，故c1−l1=0,c2−l2=0,?,cr−lr=0，
即ci=li（i=1,2,?,r）．...............................................................................................................20分
32.證明
?0∈W,∴W≠∅
….....................................................................................................2分
對(duì)∀k∈P，∀X,Y∈W，即AX=XB,AY=YB，......................................................................6分
有A(X+Y)=XB+YB=(X+Y)B，.............................................................................................12分
A(kX)=k(BX)=B(kX)，.............................................................................................................18分
所以X+Y∈W，kX∈W，
故W是線性空間Pn×n的一個(gè)子空間..................................................................................................20分
六、應(yīng)用題（本題20分.解答過(guò)程、步驟和答案必需完整、正確）
33.解：由第一型曲線積分的物理意義知
M=∫L
2zds..................................................................................................................................5分
a
| ∫ |
=1ta2+a2t2dt0
…...............................................................................................................10分
=a∫1
1+t2d(1+t2)
…............................................................................................................14分
20
a?3?1
=?(1+t2)2?
3??0
…...................................................................................................................16分
| 3 |
=a(22−1)
…..........................................................................................................................20分
標(biāo)簽：
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